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這一篇文章也是基本概念，但我們可以用中文化來理解兩邊的差別。
I forgot to buy a ticket.
I forgot buying a ticket.
這兩邊的差別其實只分成"忘了去做"和"忘了已經做了"這兩樣而已。

forgot to 是用來指忘了去做，那一個 to 你可以用中文化來理解，就是"去"做某件事。
forgot Ving 是用來表示"已經做過的事"，但卻忘了。

所以上述例句：
I forgot to buy a ticket. (我忘了"去"買票。)
I forgot buying a ticket. (我忘了"已經"買過票了。)

英文例句一：
Betty: Do you forget about my birthday? (你忘了我的生日嗎？)
Petter: No, I don't. I just forgot buying your present yesterday. (不，我沒忘，只是忘了昨天已經買好了你的禮物。)

英文例句二：
Betty: Do you forget about my birthday? (你忘了我的生日嗎？)
Petter: Oh, sorry, Betty. I forgot to buy your present yesterday. (喔，抱歉，貝蒂。我昨天忘了去買你的禮物。)

相信這樣解釋 forget 的用法，應該很好懂。

補充一個過去完成式，他並不是強調"忘了"，而是強調正在述說的事情。
Have you forgotten I am the captain ? (你已經忘了我是船長嗎？)
是在強調"我是船長，你別忘了"。
這句話有責備的意思、或者只是單純提醒而已，要看當時的情境來解釋這句話。